Tam Thức Bậc 2 Và Những Ứng Dụng



  • 0 Vote(s) - Trung bình 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Tam Thức Bậc 2 Và Những Ứng Dụng
#1
Tam thức bậc 2 là 1 trong những vấn đề lí thú của toán học. Nó là cơ sở để hình thành các phương pháp và dạng toán hiện đại ngày nay. Như việc giải phương trình bậc cao bằng cách hạ bậc hay dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2 để nghiên cứu Cực trị hay tính đồng biến, nghịch biến...
Trong topic này t sẽ đề cập đến 1 vài vấn đề về Tam thức bậc 2 và cũng như là 1 dịp để các bạn THCS,THPT cùng nhau củng cố và bổ sung kiến thức về vấn đề này. Đây là 1 dạng toán cũng rất hay ra trong các kì thi chọn học sinh giỏi và tuyển vào trường chuyên. Chúng ta sẽ thảo luận về những chủ đề và dạng toán xoay quanh nó. Mong nhận được sự tham gia của các bạn. Trong quá trình trình bày lí thuyết ko thể tránh khỏi sai xót mong các bạn giúp đỡ.
Phần I, Lí thuyết của tam thức bậc 2:
Trước hết xin nhắc lại dạng tổng quát của tam thức bậc 2:
[Image: gif.latex?ax%5E2+bx+c=0] (a khác 0) (1)
Công thức nghiệm của tam thức bậc 2 chắc các bạn ai cũng đã được biết vì vậy xin ko nêu ra ở đây. [Image: laugh.gif]
Sau đây zaizai xin nêu ra 1 số lí thuyết liên quan đến Tam thức bậc 2:

+ Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2 (1) có nghiệm [Image: gif.latex?S=x_1+x_2=-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D]
[Image: gif.latex?P=x_1x_2=%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D]
Định lí Viet có nhiều ứng dụng mà chúng ta sẽ gặp sau này. Ứng dụng cụ thể nhất chính là nhẩm nghiệm.
Xin nêu ra định lí Viet tổng quát cho phương trình bậc n:
Giả sử phương trình
[Image: gif.latex?a_nx%5En+a_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1...a_1x+a_0=0] (a_n khác 0) (*)
có n nghiệm thực [Image: gif.latex?f%28x%29=ax%5E2+bx+c] (a khác 0) có nghiệm [Image: gif.latex?f%28x%29=a%28x-x_1%29%28x-x_2%29]
Tương tự với định lí Viet định lí về sự phân tích này cũng có thể tổng quát hóa cho phương trình bậc n.
Giả sử phương trình
[Image: gif.latex?a_nx%5En+a_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1...a_1x+a_0=0] (a_n khác 0) (*)
có n nghiệm thực [Image: gif.latex?f%28x%29=a_n%28x-x_1%29%28x-x_...8x-x_n%29.]
Đây chính là 1 cơ sở quan trọng để ta có thể giải quyết các phương trình bậc cao. Đó chính là nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử. Dù với phương trình bậc 3 và bậc 4 đều đã có cách giải tổng quát là Cacdano và Ferrari (tịnh tiến nghiệm) nhưng đối với các phương trình bậc hơn 4 thì cách trên là 1 phương pháp thật sự hiệu quả nếu có nghiệm nguyên. Vấn đề nhẩm nghiệm này các bạn có thể tham khảo thêm trong các tài liệu toán. [Image: tongue.gif] Ta còn có 1 cách phân tích nữa là dựa vào giản đồ Horner.

+ Đồ thị: Đồ thị của tam thức bậc 2 là một parabol có bề lõm quay lên trên [Image: gif.latex?a%3E0] và quay xuống dưới nếu [Image: gif.latex?a%3C0]. Đồ thị không cắt trục hoành [Image: gif.latex?Ox] nếu [Image: gif.latex?Ox] nếu [Image: gif.latex?%5Cdelta=0] và cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt nếu [Image: gif.latex?%5Cdelta%3E0].
Cũng dựa vào tọa độ điểm của parabol ta đến với việc giải quyết các bài toán cực trị.
Tam thức bậc hai [Image: gif.latex?f%28x%29] có giá trị lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) tại [Image: gif.latex?x=-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D] nếu [Image: gif.latex?a%3C0] (tương ứng [Image: gif.latex?a%3E0]).

+ Định lí về dấu : Cho tam thức bậc 2: [Image: gif.latex?f%28x%29=ax%5E2+bx+c] (a khác 0)
Nếu [Image: gif.latex?%5Cdelta%3C0] thì [Image: gif.latex?f%28x%29] cùng dấu với a với mọi x.
Nếu [Image: gif.latex?x_0] khác. Tại [Image: gif.latex?%5Cdelta%3E0] thì f(x) có hai nghiệm [Image: gif.latex?x_1%3Cx_2]. Khi đó f(x) cùng dấu với [Image: gif.latex?a] với mọi [Image: gif.latex?x] không thuộc [Image: gif.latex?%28x_1;x_2%29] và trái dấu với [Image: gif.latex?a] với mọi [Image: gif.latex?x] không thuộc [Image: gif.latex?%28x_1;x_2%29.]
Như vậy nếu [Image: gif.latex?af%28%5Calpha%29%3C0] suy ra[Image: gif.latex?ax%5E2+bx+c%3E0]
[Image: gif.latex?f%28x%29.]

+ Phương pháp khoảng:
nếu [Image: gif.latex?f%28x%29=a_n%28x-x_1%29%28x-x_...28x-x_n%29] với [Image: gif.latex?x_1%3Cx_2%3C...%3Cx_n] thì [Image: gif.latex?f%28x%29] cùng dấu với [Image: gif.latex?x%3Ex_n] và lần lượt đổi dấu ở các khoảng tiếp theo [Image: gif.latex?x_1x_2...x_n=1]. Xét tam thức bậc hai [Image: gif.latex?f%28x%29=ax%5E2+bx+c] trong đó [Image: gif.latex?a,b,c%3E0][Image: gif.latex?a+b+c=1]. Khi đó [Image: gif.latex?f%28x%29] đó về dạng biểu diễn tam thức bậc 2 theo 1 biến nhất định nào đó sau đó xét [Image: gif.latex?%5Cdelta]. Cái này thì đã liên quan đến xét dấu. [Image: peace.gif]

Xét biệt số cũng chính là 1 trong những bước làm thuộc 1 phương pháp chứng minh bất đẳng thức của Vasile bên Mathlinks. Nhưng nó lại liên quan đến các biến đổi hàm số và khảo sát nên có lẽ chúng ta sẽ ko đề cập đến.
Có thể minh họa cho phương pháp của Vasile qua 2 bài toán khá là quen thuộc:
Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:
[Image: gif.latex?ax%5E2+bx%5E2+c=0] có nghiệm hoặc vô nghiệm:</i>
Bài 1: Cho phươn trình: [Image: gif.latex?ax%5E2+bx+c=0]. Biết rằng a khác 0 và [Image: gif.latex?5a+4b+6c=0], chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2:Cho [Image: gif.latex?a,b,c] là các số không âm thõa mãn điều kiện [Image: gif.latex?a+2b+3c=1]. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
[Image: gif.latex?f%28x%29] chứng minh rằng
a,nếu tồn tại [Image: gif.latex?f%28x%29=0] có nghiệm.
b. Nếu [Image: gif.latex?af%5E2%28x%29+bf%28x%29+c=x] cũng vô nghiệm.
Bài 4:
Chứng minh rằng với mọi a,b,c thỏa mãn điều kiện [Image: gif.latex?a+b+c] khác 0 phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
[Image: gif.latex?a%28x-b%29%28x-c%29+b%28x-c%29...28x-b%29=0]
2, Xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc 2 có một nghiệm chung:
Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
[Image: gif.latex?x%5E2+ax+1=0][Image: gif.latex?x%5E2+bx+2=0].
Tìm [Image: gif.latex?a][Image: gif.latex?b] sao cho [Image: gif.latex?%7Ca%7C+%7Cb%7C] nhỏ nhất.

Bạn nào có thắc mắc hay trao đổi những vấn đề liên quan đến tam giác bậc 2 có thể đặt câu hỏi tại topic này. chúng ta sẽ cùng nhau thảo luận , BQT diễn đàn sẽ giải quyết thắc mắc giúp các bạn hết sức mình
ST
  Trả lời
#2
tks bạn nha
  Trả lời
#3
thank 4 share
  Trả lời


Đi tới chuyên mục:


Thành viên đang xem chủ đề: 1 Khách