+- Diễn Đàn Tuổi Trẻ Việt Nam Uhm.VN (https://uhm.vn/forum)
+-- Diễn đàn: Diễn đàn Học tập - Học sinh, Sinh viên (https://uhm.vn/forum/Forum-Di%E1%BB%85n-%C4%91%C3%A0n-H%E1%BB%8Dc-t%E1%BA%ADp-H%E1%BB%8Dc-sinh-Sinh-vi%C3%AAn)
+--- Diễn đàn: Trung học phổ thông (https://uhm.vn/forum/Forum-Trung-h%E1%BB%8Dc-ph%E1%BB%95-th%C3%B4ng)
+---- Diễn đàn: Toán (https://uhm.vn/forum/Forum-To%C3%A1n--344)
+---- Chủ đề: Chuyên Đề Hình Học Không Gian ( Phần 1) (/Thread-Chuy%C3%AAn-%C4%90%E1%BB%81-H%C3%ACnh-H%E1%BB%8Dc-Kh%C3%B4ng-Gian-Ph%E1%BA%A7n-1)
Chuyên Đề Hình Học Không Gian ( Phần 1) - manhquynh_drt - 04-27-2011
1. Phương pháp tọa độ trong không gian
1.Tọa độ của vectơ và của điểm:
[FONT=Times New Roman]2.Tích có hướng của hai vectơ.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0),B(0;0;1), C(2;1;1).
a.Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b.Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.ĐS: CV=
c.Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành.ĐS: D(1;1;2).
d.Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.ĐS: AH=
e.Tính các góc của tam giác.ĐS: cosA=0; cosB= ; cosC= .
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1),D(-2;1;-1).
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.ĐS: .
b.Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.ĐS: cos(AB;CD)= .
c.Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
ĐS: V=1/2; AH= 1.
Bài 3: Cho tam giác ABC biết A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Hãy tìm độ dài đường phân giác trong của góc B.ĐS: B’(0;0;3).
Bài 4: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A(1;-1;5), B(3;4;4), C(4;6;1). ĐS: M(16;-5;0).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D nằm trên trục tung Oy. Biết VABCD= 5. Tìm tọa độ đỉnh D.ĐS: V= |-4yD+2|; D(0;-7;0), D(0;8;0).[/FONT]
2. Phương Trình Đường Thẳng
1.Định nghĩa vectơ pháp tuyến và cặp VTCP của mp.
a. Vectơ gọi là VTPT của mp (P) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với (P).
b.Cặp vectơ và ( không cùng phương) đgl cặp VTCP của mp(P) nếu chúng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc thuộc (P).
c.Nếu , là cặp VTCP của (P) thì một VTPT của (P) cho bởi công thức: = .
*Chú ý: Mỗi mp có nhiều cặp VTCP( hay có nhiều VTPT).
2.Phương trình tổng quát của mp:
+(P): Ax+ By+ Cz +D =0 có một VTPT: = (A; B;C) ( Với A2+B2+C2 >0).
+Phương trình (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có VTPT: = (A; B;C) là:
A(x- x0) +B( y – y0) +C(z-z0) =0.
+Phương trình mp theo đoạn chắn A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) là:
( Với a,b,c khác 0).
*Chú ý: (Oxy): z=0; (Oxz): y=0; (Oyz): x=0.
3. Chùm mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax+ By+ Cz +D =0 và
(P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0. Phương trình chùm mp qua giao tuyến của hai mp(P) và (P’) có dạng:m( Ax+ By+ Cz +D)+n( Ax+ By+ Cz +D ) =0 vơi m và n không đồng thời bằng 0).
4.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho (P): Ax+ By+ Cz +D =0 và (P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0.
Có ba vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
+(P) cắt (P’) .
+(P) // (P’) .
+(P) (P) .
5. Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho (P): Ax+ By+ Cz +D =0 có = (A; B;C)và
(P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0 có ’= (A’; B’;C’).
Số đo góc nhọn ( 00 900) của hai mp(P) và (P’) cho bởi công thức:
*Chú ý: (P) (P’) khi cos =0 hay AA’ +BB’+CC’=0.
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) và (P): Ax+ By+ Cz +D =0 cho bởi công thức :
d(M0;(P))= .
Bài tập 1: Lập phương trình tổng quát của mp:
- Đi qua hai điểm E(4;-1;1), F(3;1;-1) và song song với trục Ox.
- Đi qua A(1;2;3) và song song (P):x-4y +z +12=0 ĐS:x-4y+z+4 =0.
- Đi qua ba điểm A(1;-1;2),B(0;3;0),C(2;1;0). ĐS: 2x+2y+3z -6=0.
- Đi qua điểm I(2;6;-3) và song song với các mp tọa độ.
- Chứa trục Ox và điểm P(4;-1;2) ĐS: 2y+z=0.
- Chứa trục Oy và điểm Q(1;4;-3) ĐS: 3x+z =0.
- Chứa trục Oz và điểm R(3;-4;7) ĐS: 4x+3y =0.
- mp đi qua điểm A( 2;1;-1) và vuông góc với đường thẳng xác định bởi hai điểm
- Mp trung trực của đoạn AB với A(1;3;-4) và B(-1;2;2).
- mp nhận điểm M(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ ở trên mp đó. ĐS: 2x –y -2z -9 =0.
- Đi qua hai điểm A(2;-1;4), B(3;2;-1) và vuông góc với
- Đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vuông góc với hai mp:
Bài tập 3: Lập phương trình mp trong các trường hợp sau:
- Đi qua giao tuyến của hai mp (P): x+y +5z -1=0; (Q): 2x+3y-z+2=0 và đi qua điểm M(3;2;1) ĐS: 5x+14y – 74z +31 =0 ( 9m +13n =0).
- Đi qua giao tuyến của hai mp (P): x+3y +5z -4=0; (Q): x-y-2z+7=0 và song song với trục Oy ĐS: 4x- z +17 =0 (3m –n =0).
- Đi qua giao tuyến của hai mp (P): 2x-y +z +1=0; (Q): x+3y-z+2=0 và vuông góc với ®: -2x+2y+3z+3 =0. ĐS: 5x+8y- 2z+ 7=0( -3m+n=0).
1.Các loại phương trình đường thẳng:
a. Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua M(x0; y0;z0) và nhận
= ( a;b;c) làm VTCP có pt: ( t: tham số).
b. Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua M(x0; y0;z0) và nhận
= ( a;b;c) làm VTCP có pt: ( a2+b2+c2 >0).
- Phương trình tổng quát của đường thẳng D với D = là:
- Phương trình tổng quát của đường thẳng D với D = là:
2.Tìm phương trình đường thẳng:
*Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
*Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
*Chú ý: Trong cách 2, thực chất của viẹc tìm tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Thông thường ta có 3 giả thiết sau:
+Đường thẳng D đi qua điểm A và cắt đường thẳng . Khi đó đường thẳng D nằm trong mp đi qua A và chứa .
+ Đường thẳng D đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng . Khi đó đường thẳng D nằm trong mp đi qua A và vuông góc với .
+ Đường thẳng D song song với D1 và cắt đường thẳng . Khi đó đường thẳng D nằm trong mp song song với D1 và chứa .
Chẳng hạn:
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng ấy.
Cách giải:
-Bước 1: D đi qua A và vuông góc với nên D nằm trong mp (P) đi qua A và vuông góc với .
-Bước 2: D đi qua A và cắt nên D nằm trong mp (Q) đi qua A và chứa .
Khi đó, D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng D đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng D1 và D2.
Cách giải:
- Bước 1: D đi qua A và cắt D1 nên D nằm trong mp (P) đi qua A và chứa D1.
_ Bước 1: D đi qua A và cắt D2 nên D nằm trong mp (P) đi qua A và chứa D2.
Khi đó D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm A của đường thẳng và mp(P), vuông góc với và nằm trong (P).
Cách giải:
- Bước 1: Từ giả thiết ta có : D chứa trong (P).
-Bước 2: D qua A và vuông góc với nên D nằm trong mp(Q) đi qua A và vuông góc với .
Khi đó D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài 4: Lập phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng và cắt hai đường thẳng D1 và D2.
Cách giải:
-Bước 1: D song song với và cắt D1 nên D nằm trong mp(P) chứa D1 và song song với .
-Bước 2: D song song với và cắt D2 nên D nằm trong mp(Q) chứa D2 và song song với .
Khi đó D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài 5: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng .
Phương pháp:
-Bước 1: Tìm phương trình mp (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng .
-Bước 2:Giao điểm của và (P) chính là hình chiếu H của A trên .
Bài 6: Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (P).
-Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P).
-Bước 2: Giao điểm của và (P) chính là hình chiếu H của A trên mp(P).
Bài 7: Tìm hình chiếu của đường thẳng D xuống mp (P).
-Bước 1: Tìm phương trình mp(Q) chứa đường thẳng D và vuông góc với mp(P).
-Bước 2: Hình chiếu của D xuống mp(P) chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài 8: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng .
-Bước 1: Tìm hình chiếu H của A trên .(Bài toán 5).
-Bước 2: H là trung điểm của AA’.
Bài 9: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).
-Bước 1: Tìm hình chiếu H của A trên (P). ( bài toán 6).
-Bước 2: H là trung điểm của AA’.