26 là một trong những con số mà tôi yêu thích nhất: nó là số tự nhiên duy nhất nằm kẹp giữa một số bình phương (25) và một số lập phương (27).
Đây là một trong những phát hiện của Fermat, nhà toán học vĩ đại người Pháp sống vào thế kỷ 17. Fermat viết bên lề cuốn Arithmetica của Diophantus rằng nghiệm nguyên duy nhất của phương trình y2=x3−2 là (3,±5), nhưng ông không công bố bất kỳ chứng minh cụ thể nào cả (nghe quen không?!). Fermat còn thách thức các nhà toán học người Anh cùng thời chứng minh nó, nhưng ai cũng bó tay. Bẵng đi 80 năm sau, Euler công bố một chứng minh, nhưng ngặt nỗi, chứng minh của Euler sai. Bạn có thể tin được không? Euler vĩ đại đưa ra một chứng minh sai! Cho đến tận thế kỷ 19, gần 150 năm sau thời đại của Fermat, con người mới có đủ tri thức để chứng minh rằng Fermat đã đúng. Số 26 đúng là con số duy nhất nằm giữa một số bình phương và một số lập phương.
Chuyện này có liên quan gì đến tôi?
Tôi vô tình thấy bài toán này một vài năm trước và kể từ đó lâu lâu lại mất ăn mất ngủ vài buổi, vì chứng minh mãi không được. Tìm trên Internet cũng có vài chứng minh, nhưng mà chúng sử dụng kiến thức toán tôi không hiểu được. Tôi hầu như đã bỏ cuộc rồi, cho đến khi tôi bắt đầu học thêm toán vì muốn làm mật mã. Ai dè cái mớ toán mà tôi học lại có dây mơ rễ má với bài toán này.
Những kiến thức toán mà tôi sắp trình bày chẳng phải cao siêu gì, tôi nhớ không lầm thì chương trình năm nhất đại học của tôi có dạy hết, nhưng mà hồi xưa tôi không có chịu học, vì không có biết nó hay thế này :-).
Chứng minh của Euler
Đầu tiên Euler chuyển phương trình thành x3=y2+2 (1). Ý tưởng chủ đạo là: a) phân tích vế phải của (1) thành tích hai thừa số nguyên tố cùng nhau; b) vế trái là một số luỹ thừa bậc ba, cho nên cả hai thừa số của vế phải đều là lũy thừa bậc ba; c) từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.
Bài tập 1: cho a,b,c∈Z chứng minh rằng a=x3,b=y3 với x,y∈Z nếu như c3=ab và gcd(a,b)=1, trong đó gcd(a,b) là ước số chung lớn nhất của a và b.
Rõ ràng nếu chỉ xét trên Z thì không có cách nào phân tích được vế phải của (1) thành nhân tử cả. Nhưng toán học là trò chơi mà ở đó các nhà toán học đặt ra các luật chơi, càng ít càng tốt, rồi tự hỏi: cái thế giới mà chúng ta xây dựng từ những luật chơi này có gì hay ho và hữu dụng không? Khi mà nhóm luật chơi ban đầu không còn đem lại những kết quả thú vị nữa thì người ta sẽ thêm vào những luật chơi mới và lại đặt lại câu hỏi ở trên.
Tương tự như thế, để giải quyết những bài toán khó người ta thường thêm vào những luật chơi để tạo ra một thế giới mới, mạnh mẽ hơn, phổ quát hơn nhưng vẫn tương thích với thế giới cũ, rồi dùng những kết quả trong thế giới mới để giải quyết các bài toán trong thế giới cũ. Để giải quyết bài toán của Fermat, Euler thêm vào một luật chơi mới: tồn tại một số δsao cho δ2=−2. Nếu chúng ta chấp nhận luật chơi này thì vế phải của (1) sẽ phân tích được thành nhân tử với x3=(y−−2−−−√)(y+−2−−−√) (2).
Không đưa ra một chứng minh cụ thể, Euler chỉ lập luận rằng do y−−2−−−√ và y+−2−−−√nguyên tố cùng nhau (Euler cũng không giải thích tại sao) nên mỗi thừa số phải là một lũy thừa bậc ba. Nghĩa là ∃a,b,c,d∈Z sao cho:
y−−2−−−√=(a+b−2−−−√)3=(a3−6ab2)+(3a2b−2b3)−2−−−√ (3)
y+−2−−−√=(c+d−2−−−√)3=(c3−6cd2)+(3c2d−2d3)−2−−−√ (4)
Vì −2−−−√∉Z, nên từ (3) ta có 3a2b−2b3=b(3a2−2b2)=−1. Nghiệm của phương trình này là a=±1 và b=−1. Tương tự như thế ta suy ra nghiệm của phương trình (4) là c=±1 và d=1. Từ đó tính được y=±5. Do đó (3,±5) là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình (1).
Để thấy thiếu sót trong lập luận của Euler, chúng ta hãy thử dùng phương pháp này để giải phương trình x2=y2+5. Theo Euler thì ∃a,b,c,d∈Z sao cho:
y−−5−−−√=(a+b−5−−−√)2=(a2−5b2)+(2ab)−2−−−√ (3)
y+−5−−−√=(c+d−5−−−√)2=(c2−5c2)+(2cd)−2−−−√ (4)
Suy ra 2ab=−1 và 2cd=1 (vô lý). Do đó theo Euler phương trình x2=y2+5 không có nghiệm nguyên, nhưng có thể thấy rằng (3,2) là một nghiệm.
Vậy Euler sai ở chỗ nào? Để hiểu chỗ sai của Euler, chúng ta cần phải hiểu chuyện gì xảy ra khi luật chơi mới được thêm vào.
http://tinsang.blogspot.com/